Непериодические замощения плоскости многоугольниками

Дан конечный набор многоугольных плиток и некоторые локальные правила укладки этих плиток на плоскость. Рассмотрим замощения плоскости этими плитками, соблюдающие эти локальные правила. Обычно самый простой способ уложить плитки состоит в том, что плитки укладываются в какую-то простую ограниченную фигуру, сдвигами которой можно замостить уже всю плоскость. Такие замощения называются периодическими. Но бывают наборы плиток, не имеющих периодических замощений. Такие наборы называются непериодическими. Наиболее известные из них — наборы Пенроуза и Бергера – Робинсона.

Главный способ построения непериодических наборов — это так называемые подстановки. Подстановкой называется любой способ разрезания каждой из исходных плиток на многоугольники, каждый из которых подобен одной из исходных плиток с некоторым фиксированным коэффициентом подобия, меньшим 1. Каждой подстановке $s$, удовлетворяющей некоторому условию, сопоставляется семейство $F_s$ замощений плоскости, состоящее только из непериодических замощений. Таким образом можно определить сотни интересных семейств непериодических замощений. Теорема Гудман-Штрауса утверждает, что «почти для любой» подстановки $s$ задаваемое семейство $F_s$ может быть задано локальными правилами. Применяя эту теорему можно получить сотни интересных непериодических наборов

Недостатком теоремы Гудман-Штрауса является расплывчатость формулировки: слова «почти для любой» не уточняются в формулировке теоремы, а выясняются только в ходе ее доказательства. При этом доказательство очень сложное, содержит 38 страниц и мне не удалось найти человека, утверждавшего, что он понял его или хотя бы точную формулировку теоремы. Недавно мне удалось найти некоторые достаточно, видимо другие, общие условия на подстановку $s$, гарантирующие, что семейство $F_s$ может быть задано локальными правилами. Обо этом и будет рассказано в докладе.